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更新时间:2021-09-15 10:07

数学知识点:实数的定义及函数可导的条件及定义

来源:长春博大教育 时间:2021-09-15 10:07:56 浏览:2700
实数,是有理数和无理数的总称。数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应。函数可导的条件:在函数在定义域中,函数在该点连续,左右两侧导数都存在并且相等。
实数的定义

实数,是有理数和无理数的总称。数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应。

一.什么是实数?

实数释义:有理数和无理数的统称。

数学上,实数定义为与数轴上的实数,是有理数和无理数的总称。数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应。

虚数不是实数。

|a|表示的是a的绝对值。

虚数的定义:在数学中,虚数就是形如a+b*i的数,其中a,b是实数,且b≠0,i² = - 1。

二.实数性质。

封闭性:实数集对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。

有序性:实数集是有序的,即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一:a<b,a=b,a>b。

传递性:实数大小具有传递性,即若a>b,且b>c,则有a>c。

阿基米德性质:实数具有阿基米德性质,即(倒A)a,b∈R ,若a>0,则∃正整数n,na>b。

稠密性:R实数集具有稠密性,即两个不相等的实数之间必有另一个实数,既有有理数,也有无理数。

完备性:作为度量空间或一致空间,实数集合是个完备空间。

函数可导的条件及定义

函数可导的条件:在函数在定义域中,函数在该点连续,左右两侧导数都存在并且相等。

一、函数可导的条件

1、函数在该点的去心邻域内有定义。

2、函数在该点处的左、右导数都存在。

3、左导数=右导数

注:这与函数在某点处极限存在是类似的。

如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件(极限存在它的左右极限存在且相等)推导而来。

二、函数导数定义

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导,则称f(x)在(a,b)上可导,则可建立f(x)的导函数,简称导数,记为f'(x)

如果f(x)在(a,b)内可导,且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在,则称f(x)在闭区间[a,b]上可导,f'(x)为区间[a,b]上的导函数,简称导数。

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数f(x)在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着f(x)的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数f(x)的导函数,记作:y'或者f′(x)。

函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′(x),这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数,称为函数f(x)的导函数,记为f′(x)。

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